GAMES101-4 20200221 20210705 Transformation Cont

4 20200221 / 20210705 Transformation Cont.

• 旋转的逆就是旋转的转置（正交）

  

• 3D transformations

• Viewing (观测) transformation

  • View (视图) / Camera transformation
  • Projection (投影) transformation
    • Orthographic (正交) projection
    • Perspectve (透视) projection

3D transformations

• Use homogeneous coordinates again:

  • 3D point = (x, y, z, 1]
  • 3D vector = (x, y, z, 0)

• In general, (x, y, z, w) (w != 0) is the 3D point:
  (x/w, y/w, z/w)

  

• Rotation

  • 循环对称使得y的矩阵和xz不同，因为是 z 叉乘 x 而不是 x 叉乘 z，所以符号反
  

• 3D Rotations

  

  • 把任意旋转拆解为 x/y/z 旋转

    

• Rodrigues’ Rotation Formula

  
  • 默认轴过原点，方向为 $n$
  • 若要沿着任意轴旋转
    • 先把旋转的起点平移到原点
    • 旋转后再平移回来（逆操作）
  • 四元数 （）的引入是为了旋转的差值应用
    • 转 10°和转 30°的均值并不是转 20°

Viewing transformation

View/ Camera transformation (视图/相机变换)

• what is view transformation （MVP）

  • Think about how to take a photo (MVP)
    • Find a good place and arrange people (model transformation) 找物体位置 - 模型变换
    • Find a good “angle” to put the camera (view transformation) 找相机位置 - 视图变换
    • Cheese! (projection transformation) - 投影变换

• How to perform view transformation

  • Define the camera first
    • Position $\vec e$
    • Look-at / gaze direction
    • Up direction $\hat t$
  

• Key observation

  • 如果相机和所有物体一起移动，那么成像一致

  • 所以把相机位置固定到原点沿着-z方向看（所有物体的位置也做变换）

    

• 先平移再旋转

  • 先把中心移动到原点（平移）
  • 将所看方向旋转至 -z 方向
  • 将 up 方向旋转到 y 方向
  • $g \times t$ 旋转到 x 方向

• 正着写难写
  $g \rightarrow -Z, t \rightarrow Y, (g · t \rightarrow X)$
  反过来写好写
  $X \rightarrow (g · t), Y \rightarrow t, Z \rightarrow -g$
  （先求逆矩阵再求原矩阵-对逆矩阵求转置矩阵）

  • 因为是正交矩阵
  • 所以对视图矩阵求逆就是求其转置

• summary

• Transform objects together with the camera

• Until camera’s at the origin, up at Y, look at -Z

• Also known as ModelView Transformation 模型视图变换

Projection transformation

• 正交投影（平行光 平截头体）
  • 平行的线永远平行
• 透视投影（点光源 锥形体）
  • 平行的线会相交
  • 近大远小

Orthographic projection 正交投影

• A simple way of understanding

  • Camera located at origin, looking at -Z, up at Y (looks familiar?)
  • Drop Z coordinate
  • Translate and scale the resulting rectangle to $[-1, 1]^2$
  

• In general

  

  • We want to map a cuboid [I, r] x [b, t] x [f, n] to
    the “canonical ( 正 则 、 规 范 、 标 准 )“ cube $[-1, 1]^3$

  • Slightly different orders (to the “simple way”)

    • Center cuboid by translating

    • Scale into “canonical” cube

      

    • Transformation matrix
      先将各方向的中心平移到原点

      

• Caveat

  • Looking at / along -Z is making near and far not intuitive (n > f)
  • FYI: that’s why OpenGL (a Graphics API) uses left hand coords. （观测方向为 z 方向：n 为正的 f 为负的 n > f， -z 方向：n 为负的 far 为正的 n < f）

Perspective projection 透视投影 近大远小

• Most common in Computer Graphics, art, visual system

• Further objects are smaller 近大远小

• Parallel lines not parallel; converge to single point

• Euclid

  • 平行线永不相交
  • 但透视投影中会相交

• Before we move on

• Recall: property of homogeneous coordinates

  • (x,y,z,1), (kx, ky, kz, k != 0), (xz, yz, $z^2$, z != 0) all represent the same point (x, y, z) in 3D
    • e.g. (1, 0, 0, 1) and (2, 0, 0, 2) both represent (1, 0, 0)

• Simple, but useful

• How to do perspective projection

  
  • 把透视投影分解为两步骤
    • 1.挤压成长方体
    • 2.进行正交投影
  • 如何挤压
    • 原则
      • 近平面永远不变
      • 挤了之后各自平面z不变
      • 远平面中心点挤后不变
    • 任何一个点变换前后z不变
    • 中间一个点经过挤压后如何变化
  
  • 相似三角形
  • y’ 和 y 的关系 $y’ = \frac{n}{z}y$
  • x’ 和 x 的关系 $x’ = \frac{n}{z}x$ (与 y 同理)

• 齐次坐标下乘以一个非零数 k 依然为原来那个点（都乘 z）

  

• 如何求剩余矩阵

  • 两个观察

    • 1.近平面上任意点都不会变

      

      • $n^2$和 x y 无关

        

    • 2.远平面上任意点的 z 不会变

      

      • 取远平面中心点

        

  • 求解方程之后可知 AB，则 $M_{persp \rightarrow ortho}$ 得解